termofluida

Elemen segiempat merupakan elemen 2D yang banyak digunakan dalam analisis metode elemen hingga yang dapat mengakomodasi berbagai bentuk benda. Berikut ini akan dibahas mengenai permasalahan perpindahan panas dengan metode elemen hingga yang menggunakan elemen segiempat.

Tinjau suatu cerobong yang terbuat dari material isotropik: beton padat (dengan k = 2,0 W/oC) dan batu bata (dengan k = 0,9 W/oC). Suhu udara panas yang melalui permukaan dalam cerobong tersebut adalah T = 140 oC, sedangkan dinding luar yang terekspose udara lingkungan memiliki suhu T = 10 oC. Dimensi cerobong (dalam meter) seperti ditunjukkan pada gambar. Untuk analisis, manfaatkan kesimetrisan dan gunakan 1/8 luasan irisan melintang cerobong. Gunakan mesh dengan empat elemen seperti terlihat pada gambar. Tentukan suhu dan fluks di dalam kedua material.

Analisis persoalan tersebut dengan 2 x 2 elemen segiempat untuk 1/8 domain. Kondisi simetris berimplikasi pada kondisi batas terinsulasi pada sisi AD dan BC.

Irisan melintang cerobong dan mesh elemen hingga dengan elemen segiempat untuk 1/8 domain.

Penomoran global dan lokal adalah sebagai berikut.

Matriks koordinat elemen adalah sebagai berikut.

$\large \begin{bmatrix} x^{(1)} & y^{(1)} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1^{(1)} & y_1^{(1)}\\ x_2^{(1)} & y_2^{(1)}\\ x_3^{(1)} & y_3^{(1)}\\ x_4^{(1)} & y_4^{(1)} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0,15 & 0,2\\ 0 & 0,2\\ 0 & 0,1\\ 0,1 & 0,1\end{bmatrix}$

$\large \begin{bmatrix} x^{(2)} & y^{(2)} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0,3 & 0,2\\ 0,15 & 0,2\\ 0,1 & 0,1\\ 0,2 & 0,1 \end{bmatrix}$

$\large \begin{bmatrix} x^{(3)} & y^{(3)} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0,05 & 0\\ 0,1 & 0,1\\ 0 & 0,1 \end{bmatrix}$

$\large \begin{bmatrix} x^{(4)} & y^{(4)} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0,05 & 0\\ 0,1 & 0\\ 0,2 & 0,1\\ 0,1 & 0,1 \end{bmatrix}$

Fungsi bentuk untuk elemen segiempat empat-titik di dalam domain induknya adalah sebagai berikut

$\large N_1^{4Q}(\xi ,\eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)\\\\ N_2^{4Q}(\xi ,\eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)\\\\ N_3^{4Q}(\xi ,\eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)\\\\ N_4^{4Q}(\xi ,\eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)$

Gradien fungsi bentuk di dalam domain induknya adalah

$\large GN^{4Q}=\begin{bmatrix} \frac{\partial N_1^{4Q}}{\partial\xi} & \frac{\partial N_2^{4Q}}{\partial\xi} & \frac{\partial N_3^{4Q}}{\partial\xi} & \frac{\partial N_4^{4Q}}{\partial\xi}\\\\ \frac{\partial N_1^{4Q}}{\partial\eta} & \frac{\partial N_2^{4Q}}{\partial\eta} & \frac{\partial N_3^{4Q}}{\partial\eta} & \frac{\partial N_4^{4Q}}{\partial\eta} \end{bmatrix}\\\\ GN^{4Q}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} \eta-1 & 1-\eta & 1+\eta & -\eta-1\\ \xi-1 & -\xi-1 & 1+\xi & 1-\xi \end{bmatrix}$

Matriks di atas berlaku untuk semua elemen.

Matriks Jacobian, matriks determinan dan matriks invers dari matriks Jacobian diberikan sebagai berikut.

Untuk elemen (1),
$\large J^{(1)}=\begin{bmatrix} -0,0625+0,0125\eta & 0\\ -0,0125+0,0125\xi & -0,05 \end{bmatrix}\\\\ \left|J^{(1)}\right|=\frac{5-\eta}{1600}\\ (J^{(1)})^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{80}{\eta-5} & 0\\\\ \frac{20(-1+\xi)}{-5+\eta} & -20 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (2),
$\large J^{(2)}=\begin{bmatrix} -0,0625+0,0125\eta & 0\\ -0,0375+0,0125\xi & -0,05 \end{bmatrix}\\\\ \left|J^{(2)}\right|=\frac{5-\eta}{1600}\\\\ (J^{(2)})^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{80}{\eta-5} & 0\\\\ \frac{20(\xi-3)}{\eta-5} & -20 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (3),
$\large J^{(3)}=\begin{bmatrix} 0,0375+0,0125\eta & 0\\ 0,0125+0,0125\xi & 0,05 \end{bmatrix}\\\\ \left|J^{(3)}\right|=\frac{3+\eta}{1600}\\\\ (J^{(3)})^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{80}{3+\eta} & 0\\\\ -\frac{20(1+\xi)}{3+\eta} & 20 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (4),
$\large J^{(4)}=\begin{bmatrix} 0,0375+0,0125\eta & 0\\ 0,0375+0,0125\xi & 0,05 \end{bmatrix}\\\\ \left|J^{(4)}\right|=\frac{3+\eta}{1600}\\\\ (J^{(4)})^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{80}{3+\eta} & 0\\\\ -\frac{20(3+\xi)}{3+\eta} & 20 \end{bmatrix}$

Derivatif fungsi bentuk terhadap koordinat kartesian global adalah,

$\large B^{(e)}=(J^{(e)})^{-1}(GN^{4Q})$

Maka untuk elemen (1),
$\large B^{(1)}=\begin{bmatrix} 20+\frac{80}{\eta-5} & -\frac{20(\eta-1)}{\eta-5} & \frac{20(\eta+1)}{\eta-5} & -\frac{20(\eta+1)}{\eta-5}\\\\ \frac{20(\xi-1)}{\eta-5} & 10-\frac{20(\xi-1)}{\eta-5} & -10+\frac{30(\xi-1)}{\eta-5} & -\frac{30(\xi-1)}{\eta-5} \end{bmatrix}$

Untuk elemen (2),
$\large B^{(2)}=\begin{bmatrix} 20+\frac{80}{\eta-5} & -\frac{20(\eta-1)}{\eta-5} & \frac{20(1+\eta)}{\eta-5} & -\frac{20(\eta+1)}{\eta-5}\\\\ -10+\frac{20(\xi-3)}{\eta-5} & -\frac{20(2+\xi-\eta)}{\eta-5} & -20+\frac{30(\xi-3)}{\eta-5} & \frac{10(4-3\xi+\eta)}{\eta-5} \end{bmatrix}$

Untuk elemen (3)
$\large B^{(3)}=\begin{bmatrix} \frac{20(\eta-1)}{3+\eta} & -20+\frac{80}{3+\eta} & \frac{20(1+\eta)}{3+\eta} & -\frac{20(1+\eta)}{3+\eta}\\\\ -10+\frac{20(1+\xi)}{3+\eta} & -\frac{20(1+\xi)}{3+\eta} & \frac{10(1+\xi)}{3+\eta} & 10-\frac{10(1+\xi)}{3+\eta} \end{bmatrix}$

Untuk elemen (4),
$\large B^{(4)}=\begin{bmatrix} \frac{20(\eta-1)}{3+\eta} & -20+\frac{80}{3+\eta} & \frac{20(\eta+1)}{3+\eta} & -\frac{20(\eta+1)}{3+\eta}\\\\ \frac{20(\xi-\eta)}{3+\eta} & 10-\frac{20(3+\xi)}{3+\eta} & \frac{10(\xi-\eta)}{3+\eta} & 20-\frac{10(\xi+3)}{3+\eta} \end{bmatrix}$

Matriks konduktansi diberikan sebagai berikut.

Untuk elemen (1),
$\large K^{(1)}=\int_\Omega B^{eT}D^eB^ed\Omega=k\int_{-1}^1\int_{-1}^1B^{(1)T}B^{(1)}\left|J^{(1)}\right|d\xi d\eta\\\\ K^{(1)}=\begin{bmatrix} 0,462628 & & & sym.\\ -0,0126278 & 0,687628 & & \\ -0,206058 & -0,243942 & 0,590913 & \\ -0,243942 & -0,431058 & -0,140913 & 0,815913 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (2),
$\large K^{(2)}=\begin{bmatrix} 0,347302 & & & sym.\\ -0,122302 & 1,0223 & & \\ -0,0415467 & -0,183453 & 0,50018 & \\ -0,183453 & -0,716547 & -0,27518 & 1,17518 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (3),
$\large K^{(3)}=\begin{bmatrix} 1,51455 & & & sym.\\ -1,01455 & 2,01455 & & \\ -0,492724 & -0,00727556 & 1,00364 & \\ -0,00727556 & -0,992724 & -0,503638 & 1,50364 \end{bmatrix}$

Untuk elemen (4),
$\large K^{(4)}=\begin{bmatrix} 1,55973 & & & sym.\\ -1,55973 & 3,05973 & & \\ -0,220136 & 0,220136 & 0,889932 & \\ 0,220136 & -1,72014 & -0,889932 & 2,38993 \end{bmatrix}$

Maka matriks konduktansi globalnya,

$\large K=\tilde K^{(1)}+\tilde K^{(2)}+\tilde K^{(3)}+\tilde K^{(4)}$

dengan $\tilde K^{(e)}$ adalah matriks konduktansi yang diperluas, sehingga,

$\large K=\begin{bmatrix} 1,51455 & & & & & & & & sym.\\ -1,01455 & 3,57428 & & & & & & & \\ 0 & -1,55973 & -1,55873 & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0,347302 & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & -0,122302 & 1,48493 & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -0,0126278 & 0,687628 & & & \\ -0,00727556 & -0,992724 & 0 & 0 & -0,206058 & -0,243942 & 2,09455 & & \\ -0,492724 & 0,21286 & -1,72014 & -0,0415467 & -0,427395 & -0,431058 & -0,64455 & 4,70966 & \\ 0 & -0,220136 & 0,220136 & -0,183453 & -0,716547 & 0 & 0 & -1,16511 & 2,06511 \end{bmatrix}$

Matriks sumber dan fluks kondisi batas adalah nol, sehingga persamaan akhirnya adalah

$\large Kd=0$
$\large \begin{bmatrix} 1,51455 & & & & & & & & sym.\\ -1,01455 & 3,57428 & & & & & & & \\ 0 & -1,55973 & -1,55873 & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0,347302 & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & -0,122302 & 1,48493 & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -0,0126278 & 0,687628 & & & \\ -0,00727556 & -0,992724 & 0 & 0 & -0,206058 & -0,243942 & 2,09455 & & \\ -0,492724 & 0,21286 & -1,72014 & -0,0415467 & -0,427395 & -0,431058 & -0,64455 & 4,70966 & \\ 0 & -0,220136 & 0,220136 & -0,183453 & -0,716547 & 0 & 0 & -1,16511 & 2,06511 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} T_1\\ T_2\\ T_3\\ T_4\\ T_5\\ T_6\\ T_7\\ T_8\\ T_9 \end{bmatrix}=0$

Dengan T1=T2=T3=140 oC dan T4=T5=T6=10 oC. Partisi persamaan matriks di atas untuk menghasilkan

$\large \begin{bmatrix} T_7\\ T_8\\ T_9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 96,0202\\ 87,8429\\ 53,9181 \end{bmatrix}$

Sumber soal A First Course in Finite Element by Ted Belytschko.

Blog yang lain: www.aleronjogja.com

	Sifli amal pada Perpindahan Panas Konduksi den…
	Tegangan Geser Pipa… pada Tegangan Geser Pipa
	Perpindahan Panas Ko… pada Perpindahan Panas Konduksi den…
	Perpindahan Panas Ko… pada Perpindahan Panas Konduksi den…
	Perpindahan Panas Ko… pada Perpindahan Panas Konduksi den…

termofluida

Tentang termodinamika, mekanika fluida, perpindahan panas, dan matematika.

Analisis Perpindahan Panas 2D dengan Metode Elemen Hingga