Perpindahan Panas Konduksi dengan Koveksi pada Permukaan

Soal perpindahan panas konduksi dengan konveksi pada permukaannya dapat diselesaikan dengan metode analitik dengan menyelesaikan persamaan diferensialnya. Dengan metode elemen hingga penyelesaian permasalahan ini menjadi cukup rumit seperti akan dibahas berikut ini. Kali ini MEH akan digunakan dan dibandingkan dengan metode analitik, untuk mengetahui seberapa akurat MEH ini.

Kembangkan suatu persamaan elemen hingga untuk konduksi panas dengan konveksi permukaan. Bentuk kuat diberikan oleh persamaan diferensial berikut ini.

Konduksi 1-D dengan Konveksi
Konduksi 1-D dengan Konveksi

dengan k, A, h, \beta, dan\,T_\infty adalah konstant. \beta=2\pi r adalah keliling dari sirip yang ditinjau.

Bentuk kuat dapat dituliskan sebagai,

Solusi khusus dari persamaan di atas dapat ditentukan apabila ada dua titik pada domain yang diketahui temperaturnya.

Derivatif dari persamaan distribusi temperatur di atas adalah sebagai berikut,

Persamaan di atas menyatakan fluks panas pada elemen, dan solusi khususnya dapat ditentukan apabila terdapat dua titik pada elemen yang diketahui fluksnya. Gabungan dari kedua persamaan, yaitu persamaan distribusi temperatur dan distribusi fluks, dapat juga digunakan untuk menentukan solusi khusus apabila terdapat dua titik yang saatu titik diketahui temperatur dan titik lainnya diketahui fluksnya.

Seluruh domain dapat dibagi menjadi dua buah elemen dengan tiap elemen merupakan elemen tiga-titik, seperti gambar berikut,

(a) Elemen global; (b) Domain dibagi menjadi dua elemen (1) dan (2); (c) Elemen (1) berupa elemen tiga titik; (d) Elemen (2) berupa elemen tiga titik
(a) Elemen global; (b) Domain dibagi menjadi dua elemen (1) dan (2); (c) Elemen (1) berupa elemen tiga titik; (d) Elemen (2) berupa elemen tiga titik

Penyususnan bentuk lemah dari bentuk kuat

Kalikan bentuk kuat di atas dengan fungsi w, kemudian integralkan pada seluruh domain.

Suku pertama pada persamaan di atas dapat diintegralkan secara parsial untuk menghasilkan,

Karena w(0) = 0, maka

Pada suku terakhir, dengan menggunakan hukum Fourier, -k\frac{dT}{dx}=q,

Untuk mengakomodasi bentuk matriksnya, maka fungsi pembobot, w(x), dan derivatifnya harus ditranspos.

Ubah domain menjadi basis elemen, kemudian jumlahkan seperti berikut

Dengan menggunakan hubungan berikut,

maka akan didapat

Faktorkan w^{eT} dan ubah notasi domain integrasi menjadi \Omega,

582

Fluks batas cangkang, f_s^e

Fluks batas, f_\Gamma^e

Berikut ini adalah bentuk lengkapnya,

Sumber soal A First Course on Finite Element Method, Ted Belytschko.

Blog yang lain http://www.aleronjogja.blogspot.co.id