Divergensi pada Parabola

Teorema diveregensi merupakan sebuah teorema yang mengubah suatu integral volume menjadi integral kontur pada suatu medan vektor. Teorema ini juga sering disebut teorema Gauss. Apabila vektor tersebut \vec q, maka teorema divergensi pada vektor tersebut dinyatakan dengan,

Ruas kiri dikatakan sebagai integral suatu divergensi vektor pada suatu volume, dan ruas kanan dikatakan sebagai integral kontur suatu medan vektor pada suatu batas areanya. Berikut ini adalah sebuah soal yang mencoba mengaplikasikan teorema tersebut pada sebuah area yang dibatasi oleh suatu parabola dan sumbu-x.

Diberikan sebuah medan vektor q_x=3x^2y+y^3; q_y=3x+y^3 pada sebuah domain seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Periksalah teorema divergensi pada persoalan ini. Batas kurva dari domain berupa parabola.

62

Parabola di atas memiliki persamaan

Untuk memperoleh teorema divergensi pada persoalan ini, langkah pertama adalah menentukan medan vektor normalnya.

621

Misalkan unit vektor \hat{T} menyinggung parabola. Vektor \hat{T} dinyatakan sebagai komponen penyusunnya T_x\hat{i}+T_y\hat{j}. Dengan menggunakan gambar di atas,

Maka vektor singgung \hat{T}=T_x\hat{i}+\frac{df}{dx}T_x\hat{j}

Misalkan z\hat{k} merupakan vektor yang tegak lurus bidang xy. Dengan menggunakan perkalian silang kita dapat memperoleh vektor yang normal pada sembarang titik pada parabola. Perkalian silang untuk memperoleh vektor normal adalah sebagai berikut.

Maka vektor normalnya

Dengan,

maka vektor normal pada parabola tersebut adalah

Dengan medan vektor yang diberikan adalah,

Dengan menggunakan vektor normal di atas maka dapat dihitung integral konturnya.

Karena arah integral kontur adalah berlawanan arah jarum jam, maka

maka integral konturnya,

Suku pertama pada ruas kanan, pada y = 0 maka,

Suku kedua pada ruas kanan, y=4-x^2, maka

Selanjutnya dihitung integral volumenya.


Hasil kedua bentuk integral adalah sama yaitu 4096/35.

Blog yang lain http://www.aleronjogja.blogspot.co.id