Panas yang Dibangkitkan di dalam Elemen 1-D

Metode elemen hingga memungkinkan untuk digunakan dalam analisis konduksi panas yang mana terdapat energi panas yang dibangkitkan di dalamnya. Kali ini akan dibahas mengenai konduksi panas dengan energi panas yang linear.

Tinjau permasalahan konduksi panas seperti pada gambar di bawah.

531

Batang yang ditinjau memiliki luas penampang konstan yaitu 1 meter persegi, konduktivitas termal yang konstan k=5\, W\,^oC^{-1}m^{-1} dan sumber panas yang dibangkitkan linear s.

Kondisi batasnya T(x=1)=100\,^oC \hspace{2mm} dan \hspace{2mm} T(x=4)=0\,^oC. Bagi batang menjadi dua elemen (n_{el}=2) seperti terlihat pada gambar.

Perhatikan bahwa elemen (1) adalah elemen tiga-titik (kuadratik), (n_{en}=3), dan elemen (2) adalah elemen dua-titik (n_{en}=2).

  • Carilah bentuk kuat dari permasalahan tersebut kemudian selesaikan secara analitik. Tentukan distribusi temperatur dan fluks.
  • Susun matriks sumber elemen dan susun kedua matriks tersebut untuk mendapatkan matriks sumber global. Perhatikan bahwa matriks fluks batas (boundary flux matrix) bernilai nol.
  • Susun matriks konduktansi elemen (element conductance matrices) dan susun matriks tersebut untuk mendapatkan matriks konduktansi global.
  • Tentukan distribusi temperatur dengan menggunakan metode elemen hingga. Plot hasil dari metode analitik dengan metode elemen hingga.
  • Tentukan distribusi fluks dengan menggunakan metode elemen hingga. Plot hasil dari metode elemen hingga dengan metode analitik.

a) Penyelesaian bentuk kuat dengan metode analitik

Bentuk kuat

Karena A dan k adalah konstan maka,

Dengan menggunakan A=1\,m^2, k=5\,W\,^oC^{-1}m^{-1},\hspace{5mm}dan\hspace{5mm}s(x)=\frac{50}{3}(x+2),

Dengan menggunakan kondisi batas, maka nilai C1 dan C2 akan didapat C_1=\frac{3}{2}\,dan\,C_2=-\frac{98}{3}.

Dengan demikian solusi eksaknya diberikan sebagai berikut

Distribusi fluksnya

b) Penyusunan matriks sumber elemen dan matriks sumber global

Fungsi bentuk elemen
Untuk elemen (1):

Untuk elemen (2):

Matriks B^e
Untuk elemen (1):

Untuk elemen (2):

Penomoran titik pada elemen global
Batas esensial, T(x=1)=100, diberi nomor terlebih dahulu seperti gambar di bawah ini.

532

Matriks sumber elemen
Untuk elemen (1):

Untuk elemen (2):

Susun kedua matriks sumber menjadi matriks globalnya

c. Penyususnan matriks konduktansi elemen dan matriks konduktansi global

Untuk elemen (1):

Untuk elemen (2):

Kedua matriks konduktansi di atas dapat dipeluas (extended), untuk kemudian dijumlahkan dan menghasilkan matrik konduktansi global.

d. Perhitungan distribusi temperatur dengan metode elemen hingga
Persamaan distribusi temperatur adalah sebagai berikut

Persamaan global di atas harus dipartisi terlebih dahulu sebelum diselesaikan secara parsial. Adapun persamaan matriks yang terpartisi adalah seperti gambar berikut ini.
533

Seletalah proses partisi, maka didapat persamaan matriksnya

Tampak bahwa MEH memberikan hasil yang sama dengan metode analitik. Berikut ini hasil kedua metode ditampilkan dalam sebuah grafik.
534

e. Perhitungan distribusi fluks
Untuk elemen (1):

Untuk elemen (2):

Berikut ini adalah plot dari distribusi fluks berdasarkan MEH dibandingkan dengan metode analitik.
535

Tampak untuk plot distribusi temperatur menunjukkan sedikit perbedaan antara metode analitik dan MEH pada elemen (1), akan tetapi untuk hasil MEH pada elemen (2) cukup menunjukkan perbedaan yang signifikan apabila dibandingkan dengan metode analitik.

Sumber soal A First Course in Finite Element Method, Ted Belytschko.

Blog yang lain http://www.aleronjogja.blogspot.co.id

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s