Metode Elemen Hingga pada Struktur Rangka Bidang

Sebuah rangka bidang cukup mudah dianalisis dengan metode elemen hingga. Pada analisis, rangka dibagi menjadi beberapa elemen penyusun berupa elemen batang. Adapun elemen tersebut memiliki panjang, modulus elastisitas dan luas penampang tertentu. Berikut ini akan dibahas mengenai analisis metode elemen hingga pada rangka bidang sederhana.

Perhatikan struktur rangka bidang berikut ini.

Rangka 4 Batang
Rangka 4 Batang

Titik A dan B posisinya tetap. Sebuah gaya F = 10 newton bekerja ke arah sumbu-x pada titik C. Koordinat semua sambungan diberikan dalam satuan meter. Modulus elastisitas E=10^{11} Pascal dan luas penampang batang semuanya A=2\times 10^{-2} meter persegi.

  1. Berilah angka pada tiap-tiap titik.
  2. Susunlah matriks kekakuan global dan matriks gaya.
  3. Partisi sistem persamaan matriks dan selesaikan untuk mendapatkan anjakan titik.
  4. Hitung semua tegangan dan reaksinya.

Titik 1 = A, 2 = B, 3 = D, dan 4 = C.

Penyususnan matriks kekakuan elemen

  • Elemen (1): \phi^{(1)}=90^o, \sin 90^o=1, dan \cos 90^o=0

Untitled 3_cr

Angka 1 dan 3 di atas menunjukkan elemen (1) berada di antara titik 1 dan 3.


Maka matriks kekakuan yang diperluas (extended stiffness matrix) untuk elemen (1)
Untitled 4_cr

Dengan angka 1, 2, 3, dan 4 menunjukkan semua titik pada sistem. Terlihat bahwa setelah matriks kekakuan diperluas, matriks tersebut tidak mengalami perubahan arti karena pada titik 2 dan 4 disisipkan elemen nol. Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut ini.

Untitled 4

Terlihat bahwa bagian yang tidak diarsir merupakan elemen dari matriks kekakuan yang belum diperluas K^{(1)}.

Untuk elemen (2) sampai dengan (4) akan dihitung matriks kekakuan yang diperluas dengan cara yang sama seperti perhitungan pada elemen (1), dengan demikian di bawah ini akan langsung diberikan matriks kekakuan yang diperluas.

  • Elemen (2): \phi^{(2)}=0^o, \sin 0^o=0, \cos 0^o=1.

Matriks kekakuan yang diperluas

  • Elemen (3): \phi^{(3)}=90^o, \sin 90^o=1, \cos 90^o=0.

Matriks kekakuan yang diperluas.

  • Elemen (4): \phi^{(4)}=135^o, \sin 135^o=\frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 135^o=-\frac{1}{2}\sqrt{2}.

Matriks kekakuan yang diperluas

Perhitungan matriks kekakuan global dilakukan dengan menjumlahkan semua matriks kekauan elemen

Karena anjakan pada titik 1 dan 2 adalah nol, maka pada kedua titik tersebut terdapat reaksi. Pada titik anjakan belum diketahui dan tidak terdapat reaksi. Pada titik 4 terdapat gaya F = 10 newton dan anjakan belum diketahui. Dengan demikian persamaan sistem

Dengan K adalah matriks kekakuan global, d adalah matriks anjakan global, r adalah matriks reaksi, dan f adalah matriks gaya eksternal.

Dengan u_{1x}=u_{1y}=u_{2x}=u_{2y}=0 karena anjakan pada titik 1 dan 2 adalah nol; r_{3x}=r_{3y}=r_{4x}=r_{4y}=0 karena pada titik 3 dan 4 tidak terdapat reaksi; dan f_{4x}=10, untuk nilai f yang lain adalah nol karena tidak ada gaya eksternal yang lain, maka

Untuk menyelesaikan matriks ini dapat dilakukan partisi sebagai berikut

Persamaan matriks global yang telah dipartisi.
Persamaan matriks global yang telah dipartisi.

Persamaan pertama

Dari persamaan di atas didapat beberapa persamaan simultan

dan

Persamaan matriks yang kedua

Persamaan matriks diatas menghasilkan beberapa persamaan simultan sebagai berikut.

Dengan menggunakan aljabar maka didapat,

u_{3x}=1,914\times10^{-8} meter
u_{3y}=5\times10^{-9} meter
u_{4x}=2,414\times10^{-8} meter
u_{4y}=0 meter

Reaksi pada titik 1 dan 2 dapat dihitung,

r_{1x}=0 newton
r_{1y}=-10 newton
r_{2x}=-10 newton
r_{2y}=10 newton

Terakhir dihitung tegangan untuk tiap elemen,

    • Elemen (1): \phi^{(1)}=90^o, \sin 90^o=1, dan \cos 90^o=0, dan l^{(1)}=1 m

    • Elemen (2): \phi^{(2)}=0^o, \sin 0^o=0, \cos 0^o=1, dan l^{(2)}=1 m

    • Elemen (3): \phi^{(3)}=90^o, \sin 90^o=1, \cos 90^o=0, dan l^{(3)}=1 m

    • Elemen (4): \phi^{(4)}=135^o, \sin 135^o=\frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 135^o=-\frac{1}{2}\sqrt{2}, dan l^{(4)}=\sqrt{2} m

Untuk tegangan yang bernilai positif berarti elemen dalam keadaan tertarik, dan untuk tegangan negatif maka elemen berada dalam keadaan tertekan.

Sumber soal dari A First Course in Finite Element Method, Ted Belytschko.

Blog yang lain Aleron Jogja

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s