Formulasi Elemen Hingga 1-D

Tinjau sebuah permasalahan konduksi panas pada domain [0,20] meter. Batang memiliki luas penampang 1 meter persegi, konduktivitas termal yang konstan k=5\,W\,^\circ C^{-1}m^{-1} dan sebuah sumber panas yang seragam s=100\,Wm^{-1}. Kondisi batasnya adalah T(x=0)=0\,^\circ C dan \bar{q}(x=20)=0\,Wm^{-2}. Selesaikan permasalahan tersebut dengan dua buah elemen linear. Plot solusi elemen hingga T^{h}(x) dan \frac{dT^{h}(x)}{dx} dan bandingkan dengan solusi eksak yaitu T(x)=-10x^2+400x.

51

Matriks konduktansi elemen
Fungsi bentuk (shape function) elemen dua-titik

Untuk elemen (1),

Untuk elemen (2) dengan cara yang sama akan didapat

Dengan demikian matriks konduktansi global akan berupa (setelah setiap matriks konduktansi elemen diperluas),

Matriks fluks batas (boundary flux matrix)

Matriks fluks batas elemen untuk elemen (1) dan (2),

Proses penyusunan langsung kedua matriks fluks di atas menghasilkan

Matriks fluks sumber
Matriks fluiks sumber diberikan oleh persamaan

Karena s_1=s_2=s, maka persamaan di atas menjadi

Dengan menggunakan l^{(1)}=l^{(2)}=10, maka

dan dengan penyusunan matriks global secara langsung,

Partisi dan solusi
Persamaan sistem global diberikan oleh

Partisi persamaan di atas seperti berikut
511

Setelah dipartisi

Post-processing
Gradien temperatur diberikan oleh,

Berikut ini plot dari hasil perhitungan elemen hingga dibandingkan dengan hasil eksak.
Teksak

Tampak dari plot di atas hasil metode elemen hingga temperaturnya sama dengan eksak pada ujung-ujung elemen yaitu T(0)=0, T(10)=3000, dan T(20)=4000. Akan tetapi temperatur di dalam elemen tidak sama karena kita menggunakan elemen linear.

Sumber soal A First Course on Finite Element Method, Ted Belytschko.

Blog yang lain http://www.aleronjogja.blogspot.co.id

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s