Konduksi Panas di dalam Plat Lingkaran

Dalam analisis yang berhubungan dengan bentuk geometri benda yang melingkar atau berbentuk bola, sering kali koordinat kartesius digantikan dengan koordinat silinder atau koordinat bola untuk analisis 3-D. Untuk analisis 2-D, koordinat silinder dan koordinat bola akan menjadi koordinat lingkaran. Berikut ini akan dianalisis konduksi 2-D pada plat berbentuk lingkaran.

Persamaan diferensial (bentuk kuat) dari sebuah kasus konduksi pada sebuah plat berbentuk lingkaran adalah

dengan 0< r\leq R

Kondisi batas natural (Neumann):

Kondisi batas dasar (Dirichlet):

Dengan R adalah radius terluar plat, s adalah sumber panas yang dibangkitkan per unit panjang sepanjang radius plat, T adalah temperature dan k adalah konduktivitas panas. Asumsikan bahwa k, s, dan R diberikan atau diketahui.

  1. Buatlah sebuah bentuk lemah dari bentuk kuat tersebut di atas.
  2. Gunakan solusi kandidat dengan bentuk fungsi kuadratik T=\alpha_0+\alpha_1 r+\alpha_2 r^2 dan fungsi pembobot dengan bentuk yang sama untuk memperoleh solusi dari bentuk lemah.
  3. Selesaikan persamaan diferensial dengan kondisi batasnya dan tunjukkan bahwa distribusi temperature sepanjang radius diberikan oleh

Pembentukan bentuk lemah

Pengintegralan parsial pada suku pertama menghasilkan

Karena fungsi pembobot harus hilang pada r = R atau w(R) = 0, maka

Dengan menggunakan kondisi batas natural, \frac{dT}{dr}^{r=0} = 0, maka

Sehingga bentuk lemahnya

Solusi kandidat T=\alpha_0+\alpha_1 r+\alpha_2 r^2 harus memenuhi kondisi batas natural

pada r = 0

Dengan demikian solusi kandidatnya T=\alpha_0+\alpha_2 r^2 dan \frac{dT}{dr}=2\alpha_2r. Fungsi pembobot merupakan fungsi polinomial dengan derajat yang sama dengan solusi kandidat. Fungsi pembobot ini harus hilang (sama dengan nol) pada r = R, maka bentuk berikut dapat digunakan

Dengan mengamati bentuk lemah, satu-satunya koefisien alfa yang tersisa adalah \alpha_2 karena \alpha_0 hilang karena proses diferensiasi \frac{dT}{dr}. Dengan demikian parameter-parameter harus dikurangi untuk menjaga w(r) memiliki derajat yang sama dengan T(r), maka

Diperlukan juga \beta_0 = 0 berdasarkan fakta bahwa fungsi pembobot w(r) harus hilang pada r = R, dengan demikian fungsi pembobot dan derivatifnya


Kombinasikan semua persamaan tersebut dengan bentuk lemah





Selesaikan persamaan di atas untuk

Parameter \alpha_0 dapat ditentukan dengan menggunakan kondisi batas


Dengan demikian

Mari kita bandingkan persamaan di atas dengan penyelesaian persamaan diferensial secara analitik.





Koefisien C1 dapat dicari dengan menggunakan kondisi batas natural.

Maka C_1=0, selanjutnya



Dengan menggunakan kondisi batas dasar, maka konstanta C2 dapat ditentukan

Dengan demikian solusi akhirnya

Tampak bahwa solusi dari metode analitik sama dengan solusi pada metode elemen hingga.

Sumber soal A First Course on Finite Element Method, Ted Belytschko.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s