Transformasi dari Bentuk Kuat ke Bentuk Lemah

Metode Elemen Hingga merupakan cabang matematika yang sudah sangat maju dewasa ini. Penggunaan metode ini di bidang rekayasa memungkinkan analisis yang sangat kompleks, seperti aliran fluida viskos 3 dimensi, analisis termal, akustik, maupun analisis struktur. Penggunaan metode ini sebagai instrumen untuk menyelesaikan (secara pendekatan) persamaan diferensial parsial merupakan sebuah langkah besar, selain metode-metode lainnya yang serupa (misalnya metode beda hingga dan metode elemen batas). Kali ini akan dibahas mengenai pembentukan bentuk lemah dari sebuah bentuk kuat. Di sini bentuk kuat mengacu pada suatu persamaan diferensial yang diturunkan langsung dari analisis fisik. Kemudian bentuk kuat ini dimanipulasi untuk mengurangi orde persamaan diferensialnya yang kemudian persamaan diferensial yang baru ini disebut bentuk lemah, dan kedua bentuk tersebut adalah ekivalen.

Tunjukkan bahwa bentuk lemah dari

pada 1 < x < 3
dan
u(3) = 0,001

diberikan oleh


untuk semua w dengan w(3) = 0

Dengan w adalah fungsi pembobot, dan u adalah solusi eksak dari persamaan diferensial.

Persamaan diferensial di atas beserta kondisi batasnya merupakan bentuk kuat karena diturunkan langsung dari analisis fisik, sedangkan persamaan integral di atas merupakan bentuk lemahnya. Tampak pada proses ini akan mengurangi order persamaan diferensialnya, dari orde 2 menjadi orde 1.

Kita awali dengan mengalikan persamaan pengatur dan kondisi batas alami (natural boundary condition) pada seluruh domain [1,3] dengan sebuah fungsi sembarang sebagai fungsi pembobot.

(a) untuk semua w(x)
(b) untuk w(1)

Dengan integral parsial, misalkan

                 dan

Maka (a) menjadi

Karena w(3) = 0, maka

Dengan dikombinasikan dengan persamaan (b), maka

atau,

         untuk semua w dengan w(3) = 0.

Bentuk khusus dari fungsi w(x) tidaklah penting, asalkan w(x) memenuhi w(3) = 0.

Sumber soal dari A First Course in Finite Element Method, Ted Belytsckho,

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s