Botol Berlubang Tiga

Seperti yang sering kita alami dalam kehidupan sehari-hari bahwa tekanan di dalam air akan semakin besar jika kedalaman semakin dalam. Demikian pula ketika saat kita menguras atau mengosongkan air dari dalam bak mandi, maka air akan sangat cepat mengalir dari lubang kurasan ketika level air cukup tinggi. Kemudian kecepatan air ini akan berkurang ketika level air berkurang. Berikut ini akan dianalisis ketika sebuah bejana berisi air diberi 3 buah lubang dengan kedalam yang berbeda-beda.

Cerita berawal dari sebuah botol plastik berdiameter 4 inch dan diberi 3 buah lubang berjarak 2 inch dan berdiameter 0,15 inch seperti yang ditunjukkan pada gambar.

image-1

Air akan mengalir ke luar dari ketiga lubang tersebut dan karena perbedaan kedalaman masing-masing lubang, maka lubang paling bawah akan mengalirkan air lebih banyak. Jika mula-mula (t = 0) kondisi permukaan air berada 2 inch di atas lubang teratas, tentukan waktu yang dibutuhkan sehingga permukaan air berada pada (atau berhenti mengalir dari) lubang teratas jika efek viskositas diabaikan (aliran inviscid) dan kondisi kuasi tunak diasumsikan

Analisis:
Kita definisikan beberapa titik berikut ini:
– titik 0 berada pada permukaan air,
– titik 1 adalah lubang teratas,
– titik 2 adalah lubang yang berada di tengah, dan
– titik 3 adalah lubang paling bawah.

Misalkan kecepatan permukaan air adalah v0 ke bawah dan kecepatan air pada lubang masing-masing adalah v1, v2, dan v3 ke kanan.

Persamaan Bernoulli:

– Tinjau titik 0 dan 1 (datum elevasi pada titik 1)

Karena p0 = p1 dan h1 = 0, maka
………………….(1)

– Tinjau titik 0 dan 2 (datum elevasi pada titik 2)

Karena p0 = p2 dan h2 = 0, maka
…………………(2)

– Tinjau titik 0 dan 3 (datum elevasi pada titik 3)

Karena p2 = p3 dan h3 = 0, maka
………………..(3)

Dengan h_{0}{}', h_{0}{}'', dan h_{0}{}''' adalah elevasi permukaan air ditinjau dari tiap-tiap lubang.

Persamaan (1), (2), dan (3) menunjukkan kecepatan sesaat pada elevasi yang ditunjukkan. Ketika permukaan air turun, maka kecepatan-kecepatan v1, v2, dan v3 akan berkurang. Persamaan-persamaan di atas harus diubah menjadi

……………….(4)
………………(5)
……………..(6)

Dengan a adalah penurunan elevasi permukaan air. Pada persoalan ini diminta elevasi air berkurang 2 inch (a = 2 inch). Persamaan (4), (5), dan (6) dipadukan dengan persamaan kontinyuitas


Karena A1 = A2 = A3 = A, maka
……………………………………………(7)

dengan A0 dan A adalah luas penampang botol dan luas lubang keluaran, membentuk sistem persamaan simultan dengan 4 variabel yang tidak diketahui (v0, v1, v2, dan v3) dengan 4 persamaan (persamaan (4), (5), (6), dan (7)) yang saling independent, sehingga secara matematis sistem persamaan ini dapat diselesaikan. Persamaan (4), (5), dan (6) dapat dinyatakan secara eksplisit dalam v1, v2, dan v3 dan dengan mengeliminasi massa jenis


Persamaan-persamaan di atas dapat dimasukkan ke persamaan (7) menjadi
………(8)

Dengan v_{0}=\frac{da}{dt} yaitu laju penurunan permukaan air. Persamaan (8) di atas memberikan hubungan v0 dengan a secara implisit. Tampaknya persamaan tersebut sulit untuk dinyatakan secara eksplisit baik dalam v0 sebagai fungsi dari a, v_{0}=v_{0}(a), maupun dalam a sebagai fungsi dari v0, a = a(v_{0}).

Pendekatan dapat dilakukan dengan mencari pasangan variabel (v0 dan a) untuk kemudian mengintegralkannya secara numerik. Diskritisasi dapat diaplikasikan pada domain a (dari 0 sampai dengan a). Pada persoalan kali ini digunakan subinterval \frac{a}{n} dengan n = 8, maka akan didapat 9 titik diskrit pada a yaitu a = 0, 2/8, 4/8, 6/8, 8/8, 10/8, 12/8, 14/8, 16/8 = 2 inch.

Masukkan masing-masing titik ini ke dalam persamaan (8) untuk menghasilkan 9 persamaan dalam v0, yaitu
-Pada titik a = 0 ft
……………………..(9)
-Pada titik a = 2/8 inch = 2/96 ft
…………………(10)

……. dan seterusnya sampai ……

-Pada titik a = 2 inch = 1/6 ft
…………….(17)

Pada persamaan (9) sampai dengan (17) dapat disubstitusi nilai-nilai
A_{0}=\frac{\pi}{4}(\frac{4}{12})^{2} sq-ft, A=\frac{\pi}{4}(\frac{0,15}{12})^{2} sq-ft, h_{0}{}'=\frac{2}{12} ft, h_{0}{}''=\frac{4}{12} ft, h_{0}{}'''=\frac{6}{12} ft, dan g=32,2 ft/s^{2} sehingga menghasilkan persamaan (9) menjadi

……………………(18)

……………….. dan seterusnya sampai …………

persamaan (17) menjadi
v …………………………(26)

Persamaan (18) sampai dengan (26) dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson untuk menghasilkan v0 = 0,0191; 0,01843; 0,01773; 0,01698; 0,01618; 0,01532; 0,01437; 0,01323; 0,01114 ft/s. Pasangan koordinat ini dapat disajikan dengan grafik sebagai berikut

v0 vs a

Karena v0 adalah fungsi dari a, maka dengan pemisahan variabel



Dengan v01 adalah kecepatan permukaan air saat permukaan air berada pada level titik 1 yaitu 0,01114 ft/s, selesaikan untuk t

Bentuk integral di atas adalah luasan kurva a vs. \frac{1}{v_{0}} sesuai dengan grafik berikut ini

image-1

Pendekatan dengan kaidah Simpson memberikan luas di bawah kurva untuk kurva di atas sebesar t = 10,65 s.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s